Restrykcja (zawężenie) funkcji
Definicja 1: Równość funkcji
Definicja 2: Restrykcja funkcji
Niech będzie dana funkcja \( f:X\to Y \) oraz zbiór \( A\subset X \).
Funkcje \( g:A\to Y \) taką, że dla każdego \( x\in A \) zachodzi równość \( g(x)=f(x) \) nazywamy restrykcją lub zawężeniem funkcji \( f \) do zbioru \( A \) i oznaczamy \( f_ {\vert A} \)
Przykład 1:
Dane są trzy funkcje:
\( f(x)={{x^2+1}\over {x^3+x}},\quad g(x)=3^{\log_3{{x^2+1}\over {x^3+x}}},\quad h(x)=3^{\log_3{1\over {(\sqrt{x})^2}}} \).
Wśród funkcji \( f \), \( g \), \( h \) znajdź parę funkcji równych sobie oraz przedstaw funkcję \( g \) jako restrykcję funkcji \( f \) do pewnego zbioru \( A \).
Rozwiązanie
Funkcje \( f \), \( g \), \( h \) będziemy rozpatrywać w ich dziedzinach naturalnych. Aby zbadać równość funkcji musimy wyznaczyć (i porównać) te dziedziny oraz porównać wartości.
\( D_f \) jest zbiorem tych wszystkich \( x \), dla których \( x^3+x\neq 0 \). Mamy \( x^3+x=x(x^2+1) \), więc \( D_f=\mathbb R\setminus \{0\} \).
Wyrażenie \( 3^{\log_3{{x^2+1}\over {x^3+x}}} \) ma sens wówczas, gdy \( x^3+x\neq 0 \) oraz \( {{x^2+1}\over {x^3+x}}\gt 0 \).
Rozwiązując
\( {{x^2+1}\over {x^3+x}}\gt 0 \),
\( {{x^2+1}\over {x(x^2+x)}}\gt 0 \),
\( {1\over x}\gt 0 \),
\( x\gt 0 \).
Zatem \( D_g=\mathbb R\setminus\{0\}\cap \mathbb R_+=\mathbb R_+ \).
Dziedzina funkcji \( f \) jest różna od dziedziny funkcji \( g \), czyli funkcje \( f \) i \( g \) nie spełniają pierwszego warunku z definicji równości funkcji, a więc nie mogą być równe.
Wyznaczając dziedzinę funkcji \( h \) zakładamy:
\( x\gt 0 \)
\( (\sqrt{x})^2\neq 0\Leftrightarrow x> 0 \)
\( {1\over {(\sqrt{x})^2}}> 0\Leftrightarrow x> 0 \)
Zatem \( D_h=\mathbb R_+ \).
Dziedziny funkcji \( g \) i \( h \) są równe, a więc należy jeszcze sprawdzić drugi warunek definicji o równości funkcji, czyli porównać ich wartości
Weźmy dowolne \( x\in \mathbb R_+ \), korzystając z własności logarytmów mamy:
\( g(x)=3^{\log_3{{x^2+1}\over {x^3+x}}}=3^{\log_3{1\over x}}={1\over x} \),
\( h(x)=3^{\log_3{1\over {(\sqrt{x})^2}}}=3^{\log_3{1\over x}}={1\over x} \).
Widzimy więc, że dla każdego \( x\in D_g:\quad g(x)=h(x) \), czyli uwzględniając równość dziedzin wnioskujemy, że funkcje \( g \) i \( h \) są równe.
Zauważmy, że funkcje \( g \) oraz \( h \) można zapisać następująco:
\( g:\mathbb R_+\to \mathbb R,\quad x\mapsto {1\over x} \),
\( h:\mathbb R_+\to \mathbb R,\quad x\mapsto {1\over x} \).
Funkcja \( f \) jest określona dla \( x\neq 0 \). Po przekształceniu otrzymujemy \( f(x)={{x^2+1}\over {x^3+x}}={1\over x} \). Co możemy zanotować:
\( f:\mathbb R\setminus\{ 0\}\to\mathbb R,\quad x\mapsto {1\over x} \).
Funkcja \( g \) jest więc restrykcją (zawężeniem) funkcji \( f \) do zbioru \( R_+ \), co zapisujemy symbolicznie \( g=f_{\vert \mathbb R_+} \).
Odpowiedź
Dwie funkcje równe to funkcje \( g \) oraz \( h \). Funkcję \( g \) można przedstawić jako restrykcję funkcji \( f \) do zbioru liczb rzeczywistych dodatnich, czyli \( g=f_{\vert \mathbb R_+} \).